Теорема Гаусса

Произведение напряженности электрического поля E и такой плоской площадки S, во всех точках которой напряженность поля одинакова и перпендикулярная к ней, составляет поток N вектора напряженности через площадку S;

N = ES  (6)

Если вектор напряженности не перпендикулярен к площадке, то необходимо определять составляющую вектора напряженности перпендикулярную к площадке, которую называют нормальной составляющей (рис. 1):

N = E_nS = (E*cosβ)S 

При вычислении потока через произвольную поверхность площадью S в неоднородном поле эту поверхность следует разбить на малые плоские элементы dS в пределах каждого из которых напряженность поля можно считать одинаковой; поток через отдельную элементарную площадку

dN = E_ndS

Поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность находится суммированием (интегрированием) элементарных потоков:

Единицу измерения потока вектора напряженности найдем из формулы (6):

[N] = [ES] =  В/м *м² = В*м    (8)

Рис.1 Нормальная составляющая вектора напряженности электрического поля, Рис.2 электрический заряд внутри сферической поверхности

В качестве примера найдем поток вектора напряженности поля точечного заряда Q, помещенного в центре сферической (шаровой) поверхности радиуса R (рис. 2).
Напряженность поля заряда Q одинакова во всех точках этой поверхности и согласно (2)

Так как векторы напряженности перпендикулярны к сферической поверхности, то E_n = E и проходящий через поверхность поток вектора напряженности поля

так как — площадь сферы

Подставив в написанную формулу выражение E, получим

Как видно из (9), полученное для частного случая сферической поверхности выражение потока не зависит ни от формы поверхности, ни от места расположения заряда внутри нее. Поэтому формула (9) справедлива для замкнутой поверхности любой формы и произвольно расположенных внутри нее зарядов, суммарное значение которых равно Q.

Итак, поток вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность равен отношению сумм зарядов, расположенных внутри этой поверхности, к абсолютной диэлектрической проницаемости среды. Получена соотношение называют теоремой Гаусса.

Наглядно поток изображают электрическими линиями, так чтобы вектор напряженности поля в любой точке был касательным к электрической линии, проведенной через
эту точку. Электрические линия поля неподвижных зарядов начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. Число линий, пересекающих данную площадку, выбирают пропорциональным значению потока N через эту площадку. На рис. 4.1 показан электрические линии точечного заряда + Q₁.

Электрическое поле неподвижных зарядов называют электростатическим.